Экономико-математические методы

7

Контрольная работа по курсу «Экономико-математические методы»

Вариант 0

Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.

Таблица 2. Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550 кг

№ варианта	Среднесуточный удой, кг	Потребность в
		кормовых единицах, кг	переваримом протеине, г
0	12	10,3	1136

Рацион составляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма показано в табл. 3.

Таблица 3. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов

Показатель	Комбикорм	Сено	Силос
Кормовые единицы, кг	1	0,5	0,2
Переваримый протеин, г	160	60	30
Себестоимость 1 кг корма, руб.	4,2	0,9	0,6

Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующее допустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)

Таблица 4. Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребности в корм. ед.

№ варианта	Концентрированные корма, не менее	№ варианта	Грубые корма, не более
0	26%	0	21%

Составить рацион кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу вручную симплексным методом.

Решение:

Выразим все условия задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого обозначим через х1 - искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 - сена (кг) и через х3 - силоса (кг).

Составим систему ограничений:

1) условие по содержанию кормовых единиц в рационе:

1*х1+0,5*х2+0,2*х310,3

2) условие по содержанию переваримого протеина в рационе:

160*х1+60*х2+30*х31136

3) условие по содержанию концентратов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):

1*х12,678

4) условие по содержанию грубых кормов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):

0,5*х22,163

Целевая функция - минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3min

Перейдем в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные:

1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3

2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136

3) 1*х1-х6=2,678

4) 0,5*х2+х7=2,163

Целевая функция - минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7min

Дополнительные переменные имеют следующий экономический смысл:

х4 - количество кормовых единиц сверх минимума, кг

х5 - количество переваримого протеина сверх минимума, г

х6 - количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.

х7 - разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим содержанием в рационе, кг корм. ед.

В ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.

1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3

2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136

3) 1*х1-х6+у3=2,678

4) 0,5*х2+х7=2,163

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0

Разрешим уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для удобства двумя строками:

1) у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)

2) у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)

3) у3=2,678-(1*х1-1*х6)

4) х7=2,163-(0,5*х2)

Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0

Заполним симплексную таблицу 1:

i	Базисные переменные	Свободные члены, bi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	bi/aij
1	y1	10,300	1,000	0,500	0,200	-1,000	0,000	0,000	10,300
2	y2	1136,000	160,000	60,000	30,000	0,000	-1,000	0,000	7,100
3	y3	2,678	1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-1,000	2,678
4	x7	2,163	0,000	0,500	0,000	0,000	0,000	0,000	-
m+1	Z	0,000	-4,200	-0,900	-0,600	0,000	0,000	0,000	X
m+2	F	1151,141M	157,8M	60,1M	29,6M	-M	-M	-M	x

1. Разрешающий столбец - х1.

2. Разрешающая строка - у3.

3. Заполняется симплексная таблица 2.

3.1. Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1 вводится в базис.

3.2. Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:

1/1=1

3.3. Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей:

2,678/1=2,678; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1

157,8М/(-1)=157,8М

3.4. Расчет остальных элементов таблицы:

Столбца bi:

10,300-1*2,678=7,622; 1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;

0-(-4,200)*2,678=11,248; 1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;

Столбца х2:

0,500-1,000*0,000=0,5000; 60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при расчете требуется постоянно умножать на 0,000

без изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.

Расчет элементов столбца х6:

0,000-1,000*(-1,000)=1,000; 0,000-160,000*(-1,000)=160,000;

0,000-0,000*(-1,000)=0,000; 0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;

-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.

Аналогично составляем симплексную таблицу 2:

i	Базисные переменные	Свободные члены, bi	y3	x2	x3	x4	x5	x6	bi/aij
1	y1	7,622	-1,000	0,500	0,200	-1,000	0,000	1,000	7,622
2	y2	707,520	-160,000	60,000	30,000	0,000	-1,000	160,000	4,422
3	x1	2,678	-1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-1,000	-2,678
4	x7	2,163	0,000	0,500	0,000	0,000	0,000	0,000	-
m+1	Z	11,248	-4,200	-0,900	-0,600	0,000	0,000	-4,200	X
m+2	F	728,552М	-157,8M	60,1M	29,6M	-M	-M	156,8М	x

Симплексная таблица 3:

i	Базисные переменные	Свободные члены, bi	y3	x2	x3	x4	x5	y2	bi/aij
1	y1	-152,378		-159,500	-159,800	-161,000	-160,000		0,955
2	x6	4,422		0,375	0,188	0,000	-0,006		11,792
3	x1	162,678		160,000	160,000	160,000	160,000		1,017
4	x7	2,163		0,500	0,000	0,000	0,000		4,326
m+1	Z	683,248		671,100	671,400	672,000	672,000		X
m+2	F	-24359,448M		60,1M	-25058,4M	-25089M	-25089M		x

Симплексная таблица 4:

i	Базисные переменные	Свободные члены, bi	y3	х7	x3	x4	x5	y2	bi/aij
1	y1	-153,460		-319,000	-159,800	-161,000	-160,000		0,960
2	x6	3,341		0,750	0,188	0,000	-0,006		-0,021
3	x1	1,082		320,000	160,000	160,000	160,000		-0,007
4	х2	4,326		1,000	0,000	0,000	0,000		-0,006
m+1	Z	682,167		1342,200	671,400	672,000	672,000		-4,269
m+2	F	-243360,53М		120,2М	160,4M	-25089M	-25089M		x

Симплексная таблица 5:

i	Базисные переменные	Свободные члены, bi	y3	х7	у1	x4	x5	y2	bi/aij
1	х3	27,295		-319,000	1,000	-1,200	-25728,000		-
2	x6	-0,986		0,750	-0,001	0,000	-25568,006		-
3	x1	2,678		320,000	-1,001	-25567,800	-25408,000		-
4	х2	4,326		1,000	0,000	0,000	-25568,000		-
m+1	Z	677,841		1342,200	-4,202	-25055,800	-24896,000		х
m+2	F	0М		0М	0M	0M	0M		x

Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.

Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти 4000т зелено й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл. 6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.

Таблица 5. Количество зеленой массы с полей, т

№ варианта	Поле
	1-е	2-е	3-е	4-е	5-е
0	800	1000	1200	400	600

Таблица 6. Потребность ферм в зеленой массе, т

№ варианта	Ферма
	1-я	2-я	3-я	4-я
0	1000	600	800	1600

Таблица 7. Расстояние от полей до ферм, км

Поля	Ферма
	1-я	2-я	3-я	4-я
1-е	5	6	2	2
2-е	9	7	4	6
3-е	7	1	4	5
4-е	5	2	2	4
5-е	6	4	3	4

Составить такой план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется решить задачу методом потенциалов.

Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом «наилучшего» элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1

Поле	Ферма	Наличие зеленой массы, т	Ui
	1-я	2-я	3-я	4-я
1-е	5	6	2-	2-		0
			400	400	800
2-е	9-	7	4+	6+		5
	1000				1000
3-е	7+	1	4	5		3
		600		600	1200
4-е	5	2	2	4		0
			400-		400
5-е	6	4	3	4-		2
				600	600
Потребность в зеленой массе, т	1000	600	800	1600	4000	Z
Vj	4	-2	2	2		17400

Переходим к анализу первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.

Проверим, является ли план оптимальным. Если нет - улучшим его.

1. Рассчитаем значения потенциалов:

u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;

v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2

2. Рассчитаем характеристики для свободных клеток:

d	1	2	3	4
1	5	8	0	0
2	0	4	-1	-1
3	0	0	0	0
4	1	4	0	2
5	0	4	-1	0

3. Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3, для которой строим цепь.

4. Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.

Поле	Ферма	Наличие зеленой массы, т	Ui
	1-я	2-я	3-я	4-я
1-е	5	6	2	2		0
			44	756	800
2-е	9	7	4	6		5
			756	244	1000
3-е	7	1	4	5		3
	400	600		200	1200
4-е	5	2	2	4		0
	400				400
5-е	6	4	3	4		2
	200			400	600
Потребность в зеленой массе, т	1000	600	800	1600	4000	Z
Vj	6	-2	2	2		15288

Расчеты ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2

Перераспределяем по цепи поставку 400. Строим таблицу 3.

Поле	Ферма	Наличие зеленой массы, т	Ui
	1-я	2-я	3-я	4-я
1-е	5	6	2	2		0
	0	0	44	756	800
2-е	9	7	4	6		3
	0	0	756	244	1000
3-е	7	1	4	5		1
	0	600	0	600	1200
4-е	5	2	2	4		1
	400	0	0	0	400
5-е	6	4	3	4		2
	600	0	0	0	600
Потребность в зеленой массе, т	1000	600	800	1600	4000	Z
Vj	6	0	1	2		15288

Анализ решения: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров

Решение методом линейного прораммирования:

1. Проверим, прежде всего условие равенства ресурсов:

С полей поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы

Потребность ферм в зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам потребителей.

2. Пусть Xij - количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем ограничения:

х11+х12+х13+х14=800

х21+х22+х23+х24=1000

х31+х32+х33+х34=1200

х41+х42+х43+х44=400

х51+х52+х53+х54=600

Из условия потребностей ферм:

х11+х21+х31+х41+х51=1000

х12+х22+х32+х42+х52=600

х13+х23+х33+х43+х53=800

х14+х24+х34+х44+х54=1600

Целевая функция задачи - количество тонна-километров:

Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+

9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+

7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+

5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+

6*х51+4*х52+3*х53+4*х54min

Решим систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате выполнения программы, получаем решение:

Поле	Ферма	Наличие зеленой массы, т	Сумма
	1-я	2-я	3-я	4-я
1-е	5	6	2	2
	0	0	44	756	800	800
2-е	9	7	4	6
	0	0	756	244	1000	1000
3-е	7	1	4	5
	0	600	0	600	1200	1200
4-е	5	2	2	4
	400	0	0	0	400	400
5-е	6	4	3	4
	600	0	0	0	600	600
Потребность в зеленой массе, т	1000	600	800	1600		Z
Сумма	1000	600	800	1600		15288

Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров.